Modelado del volumen de un reactor (E1, (c))

Se nos pide encontrar la conversión máxima que se lograría para un VCSTR = 10.5L

Recordemos que VCSTR = FAo x / -rA

Si obtuvieramos 1/-rA en función de la conversión, podriamos reemplazar los datos conocidos y despejar x.

Al analizar nuevamente el gráfico de "1/-rA v.s. x", notaremos que si dividimos la función en tres invervalos y asumiendo que tenemos líneas rectas en los tres intervalos, podemos obtener las ecuaciones para 1/-rA(x).

 Al utilizar Excel pudimos obtener rápidamente las ecuaciones. También lo pudimos haber hecho manualmente escogiendo dos puntos de la recta.

Si hubiésemos tenido más datos experimentales, los datos hubiesen estado dispersados seguramente. En ese caso en lugar de aproximar los datos a una recta, hubiese sido mejor aproximarlos a un polinomio. Con Excel también se puede realizar ésto.

Se pueden utilizar otras herramientas matemáticas para realizar esta acción, como calculadoras graficas y programas de computadora. Pero siempre es importante conocer el fundamento teórico de las cosas. Para más información sobre polinomios de aproximación se recomienda leer el libro Análisis numérico (Richard L. Burden, J. Doublas Faires).

Las ecuaciones obtenidas para 1/-rA(x) son las siguientes:

1/-ra(x)= -2x + 0.999      0<x<0.4

1/-ra(x)=0,2                    0.4<x<0.6

1/-ra(x)= 2.996x - 1.598      0.6<x<0.9

Reemplazando en la ecuación de VCSTR y con el valor de FAo=300, obtuvimos el siguiente sistema de ecuaciones:

VCSTR(x)= -600x^2 + 299,7x      0<x<0.4

VCSTR(x)=60x                    0.4<x<0.6

VCSTR(x)= 889.8x^2 - 479.4x      0.6<x<0.9

x	VCSTR (x)
0	0
0,2	35,94
0,4	23,88
0,45	27
0,5	30
0,6	35,928
0,8	191,712
0,9	296,568

En la tabla anterior se muestran los valore obtenidos para el volumen del CSTR. Allí vemos que el volumen de 10.5 L se obtiene entre una conversión entre 0 y 0.2; es decir en el primer intervalo.

Para obtener el valor de x, reeemplazamos en la fórmula de VCSTR, la ecuaciónde 1/-rA(x) del pimer intervalo.

10.5= -600x^2 + 299,7x
-600x^2 + 299,7x-10.5=0

Al resolver la ecuación cuadrática obtenemos x=0.46 y x=0.04.
La primera respuesta la descartamos por estar fuera del rango.
Podemos decir que cuando la conversión es del 4% el volumen del CSTR es de 10.5L.

Pero debemos sospechar que esta conversión no es la máxima a la que se presenta este volumen, ya que su valor es muy bajo.