Modelado del volumen de un reactor (E1, (a))

El capítulo dos -literal 6- de la tercera edición del libro Elementos de ingeniería de las reacciones químicas (H. Scott Fogler) propone el siguiente problema:

La siguiente reacción exotérmica se efectuó adiabáticamente:

A→B

Los datos registrados para la conversión y la velocidad de reacción a distintos tiempos, fueron los siguientes:

X	-rA ( mol/dm3min)
0	1.0
0.2	1.67
0.4	5.0
0.45	5.0
0.5	5.0
0.6	5.0
0.8	1.25
0.9	0.91

 

Si la velocidad de flujo molar alimentada de A fue de 300 mol/min, determine:

a) ¿Cuáles son los volúmenes de PFR y CSTR necesarios para lograr una conversión del 40%?

b) ¿En qué intervalo de conversiones serían idénticos los volúmenes del CSTR y del PFR?

c) ¿Cuál es la conversión máxima que puede lograrse en un CSTR de 10.5 dm³?

d) ¿Qué conversión puede lograrse si un PFR de 72dm³ va seguido en serie por un CSTR de 24dm³?
e) ¿Qué conversión puede lograrse si hay un CSTR de  34 L seguido en serie por un PFR de 72 L?
f) Grafique la conversión y la velocidad de reacción en función del volumen del PFR hasta un volumen de 100 dm³

^{Solución propuesta:}

a) ¿Cuáles son los volúmenes de PFR y CSTR necesarios para lograr una conversión del 40%?

Recordemos la ecuación general de balance molar:

Entrada-Salida+Generación=Acumulación

Para el componente A, la ecuación quedaría así:

FAo - FA + Integral (rA dV) = dNA / dt

Siempre es recomendable empezar por este paso al momento de modelar reactores, especialmente al momento de modelar reactores en serie.

Un reactor continuo de mezcla perfecta (CSTR) es aquel en el que se considera que la temperatura, concentración y velocidad de reacción son las mismas en cualquier parte del interior del reactor. Se lo utilza sobre todo en reacciones de fase líquida.

Un reactor CSTR opera en estado estacionario. Esto implica que la acumulación será cero y que la velocidad de reacción no variará con la posición en el reactor. Entonces tenemos que:

 FAo - FA  = - rA V

VCSTR = (FAo - FA ) / -rA

En función de la conversión, teniendo en cuenta FA= FAo - FAox 

VCSTR = FAo x / -rA

El enunciado nos decia que FoA = 300 mol/min.

Nos piden el volumen cuando x=0.4

De la tabla vemos que el negativo de la velocidad de desaparación cuando la conversión es del 40%, es de 5 mol/ L min

Reemplazando los datos en la ecuación obtenida obtenemos que:

VCSTR = (300)(0.4) / 5

VCSTR = 24 L

Un reactor tubular o de flujo tapón (PFR) se modela teniendo en cuenta que la concentración varía continuamente a lo largo del reactor.  

FAo - FA + Integral (rA dV) = dNA / dt 

 d (FAo - FA) / dV  =  d(- rA V) / dV 

rA =  dFA / dV

Para una explicación más detallada sobre reactores tubulares y otros, se recomienda leer el Fogler.

Para un reactor tubular la ecuación de volumen nos quedaría así:

V= Integral (dFA) /rA

dFA= d(FoA - FAox )= -FAodx

VPFR = FAo Integral (dx / -rA)

El siguiente gráfico -elaborado en Excel con los datos del enunciado- representa la variación de -1/rA respecto a la conversión x:

Para el volumen del PFR lo que buscamos obtener es el área bajo la línea de la función entre x=0 y x=0.4.

Al ver el gráfico vemos que en realidad tenemos una línea recta.

Una forma de resolver el problema sería obtener la ecuación de la recta -de la forma y=mx + b o mejor dicho (1/-rA)=mx + b- entre los puntos que nos interesa.

Si se nos hubiesen proporcionado más datos de laboratorio, digamos para x=0.05, 0.1, 0.15, 0.25, 0.3, etc. talvez no hubiésemos obtenido una recta, sino una curva.

Por eso la mejor manera de resolver este tipo de problemas es aplicando técnicas de análisis numérico.

El Fogler incluye apéndices con explicaciones simples y entendibles sobre técnicas numéricas. Para una explicación más detallada sobre éstos, el autor de esta entrada recomienda el libro Análisis numérico (Richard L. Burden, J. Doublas Faires)

Para resolver este problema utilizaremos la regla de Simpson para N números impares:

Integral [f(x)dx)] = (h/3) [ f(x0) + 4Sumatoria[f(x impar)] + 2Sumatoria[f(x par)] + f(xN)]

donde h= (xN - x0)/(N-1)

Al momento de escoger los puntos (x, f(x)), debemos de tener en cuenta que

xi= x0 + ih

Es decir, que exista la misma distancia entre cada valor de las abscisas (x) elegidas.

X	1/-rA
0	1
0,2	0,5988024
0,4	0,2

En la tabla presentada, presentamos los puntos escogidos y vemos que cumplen la condición mencionada.

Al reemplazar la fórmula de Simpson en la del VPFR , nuestro f(x) sería 1/-rA(x).

VPFR = FAo Integral [1/-rA(x)dx)] = (h/3) [ 1/-rA(x0) + 4Sumatoria[1/-rA(x impar)] + 2Sumatoria[1/-rA(x par)] + 1/-rA(xN)]

Para este ejemplo en particular, tendríamos N=3 y h=0.2. Solamente tendríamos un x impar.

Resolviendo tenemos :

VPFR = (300)(0.2/3) [1+ 4(0.5988) + 0.2]

VPFR = 7.2 L